Les voy a contar una historia hoy día: Bajo la superficie del mundo yacen las reglas descritas por la ciencia. O, al menos, el mundo avanza como si así fuera. Pero bajo todas estas reglas, existen reglas más profundas, una matriz abstracta de matemática pura que permite el lenguaje capaz de explicar las reglas que –a su vez la ciencia– explican la naturaleza, el mundo, el universo. Estas reglas se constituyen como el último orden, el último juego de certidumbres, de fundamentos, que nos permiten urdir nuestro entendimiento y nuestras verdades. Este primer orden es lo que llamamos “música de las matemáticas”.

“Ver un Mundo en un grano de arena, un cielo en una flor silvestre. Tomar la infinitud en la palma de tu mano y la eternidad en una hora”.
Primera estrofa del poema Augurios de Inocencia, William Blake (1803).

“y puedo decir esto último porque sé de un lenguaje         él viene a obrar

sobre nosotros          ¿cómo?         nosotros amamos en primer término al

árbol que se basta a sí mismo para retener como luz y contraluz          en

cada hoja un cielo      para retener        como rumor de su follaje húmedo

toda lejana brisa imperceptible

Amereida, pág. 123.

Aquí quiero conectar con el primer personaje de la historia, Georg Cantor. La pregunta es ¿cuál es el sistema, cuál es el conjunto a lo cual todo obedece? Es la última pregunta, por cierto. ¿Cuál es la última música, el último bajo continuo de todo? Esta es una pregunta mística, religiosa, pero a la vez matemática. Este hombre se hizo esta pregunta, como muchos otro también.

Estos 3 personajes que quiero traer hoy día, son los equivalentes en las matemáticas a los poetas malditos; son aquellos personajes que quieren ir más allá de la seguridad y la consistencia del sistema preestablecido, para acceder al desconocido y avanzar, con la persistencia férrea y traer luz sobre eso –aunque signifique caerle mal a algunos porque les desarma todo. Y por querer adentrarse en ese misterio todos ellos tienen historias trágicas tocadas por la locura, por el suicidio, etc. –ese es el precio que hay que pagar: Georg Cantor, Kurt Gödel y Alan Turing.

Cantor comenzó una revolución en las matemáticas, revolución que nunca quiso, y lo hizo partiendo con una simple pregunta: ¿Qué tan grande es el infinito? La idea del tiempo, del movimiento, del espacio; todas esas ideas se basan en la idea del infinito, del continuo de infinitos, por lo tanto conocer el infinito es preciso para explicar el continuo; y como no se sabía bien qué era, había que saberlo. Desde un comienzo el se dio cuenta de las implicancias de su trabajo, además era un hombre muy religioso y él sentía que su misión en este mundo era traer luz sobre esto.

Otros ya habían abordado este problema, entre los modernos podemos decir que estaba Galileo; ¿qué hizo? Dentro de un círculo puso un triángulo, luego un cuadrado, luego un pentágono, etc., y se dio cuenta de que el infinito lo podía tomar en un círculo, todo esto es perfecto, pero a su ver traía una paradoja terrible: Si yo le asigno una línea hasta el centro a cada punto infinito de este círculo y trazo un círculo más grande, estas líneas inevitablemente se van a ir abriendo y van a haber huecos en el otro infinito; este problema decía que la mente del ser humano, como es finita, no lo puede comprender y toma el problema y lo barre debajo de la alfombra, y no se tocó hasta Cantor. Cantor dice, que si puedo suman 1 + 1, ¿podré sumar un infinito + otro infinito?, y construyó un nuevo sistema que es la Teoría de Conjuntos, obra que se abre con un fragmento de Corintios que dice “que él va a traer luz sobre aquello que está oculto”. Lo que quiso hacer de verdad, era establecer la ley de todo eso con la relación entre todos estos infinitos; estableció distintas escalas (esto se trata en las Matemáticas V), son las escalas del infinito, Aleph₀, Aleph₁, Aleph₂, que son las distintas magnitudes que tiene ese infinito; es decir… llegó a la cumbre, y cuando llegó a la cumbre se dio cuenta que había otra montaña más alta y así cada vez más alta. Lo que quería él era establecer la relación entre todos estos conjuntos, para no quedarse con pedazos sueltos; tenía que establecer lo que él denominó como La Hipótesis del Continuo, y esa fue la tarea que lo llevó a la locura, porque un día la demostraba y más tarde se desbarataba su demostración, así muchas veces… y no estaba haciendo otra cosa que irse de poco al manicomio.

Pero gracias a esta Teoría de Conjunto, a principios del siglo XX, en Viena, Austria, había un gran entusiasmo porque ya se estaba construyendo un sistema lo suficientemente consistente como para hacer el fundamento: el libro se llama Principia Matemática; gran entusiasmo, a este movimiento se le denomina comunmente como el Positivismo. Los fundamentos del gran edificio matemático, un ladrillo indestructible de certidumbres… demora cerca de 300 páginas en demostrar que 1+1=2.

Y bajo la aritmética hay un orden más profundo que es el de la lógica, Gödel era un lógico, pero él llegó como una especie de aguafiestas para desmantelar esta consistencia y decir –lo que nombró Isabel: el Teorema de la Incompletitud; es decir, que todos los sistemas consistentes son limitados, siempre van a requerir algo que está fuera para poder demostrar todas las verdades. Por supuesto, esto no lo hizo muy popular entre sus colegas. Hay toda una demostración… pero en el fondo todos nuestros sistemas linguísticos pueden tener una verdad, o podemos encontrarnos con una verdad que nos abofetea la cara y no la vamos a poder demostrar bajo ese sistema, y va a ser una paradoja. Un sistema tiene definiciones y axiomas, y hay una paradoja que arroja ese sistema; y esa paradoja, a su vez puede ser contenida en otro sistema con nuevas definiciones y nuevos axiomas, donde uno de los axiomas puede ser la paradoja que arroja una segunda paradoja y así sucesivamente… es el Teorema de la Incompletitud, dicho de una manera muy resumida.

El tercer personaje es Alan Turing, matemático inglés, padre de la computación moderna; él ideó un dispositivo abstracto que se denomina Máquina de Turing, y que básicamente es un computador; también es famoso porque él logro crackear el Código Enigma de los alemanes durante la II Guerra Mundial, logrando anticiparse a los bombardeos; logró deducir cómo en ese sistema encriptado podría haber una llave. Pero también es el hombre que le da una realidad concreta al Teorema de la Incompletitud porque lo lleva al mundo de las máquinas: una máquina también, como un sistema, va a ser incompleto. Una computadora, alimentada con este tipo de problemas no parará nunca, se va a quedar pegada; pero que eso, no se sabría si con un número finito de cálculos podría finalizar o quedar pegada infinitamente; y más malo que eso: no existiría ninguna manera matemática de detectar estos problemas de antemano (ese es el diagrama que explica el problema de “parada” o Halting Problem, que es la aplicación práctica del Teorema de Gödel); dicho de otro modo, Gödel demostró que en todos los sistemas lógicos habrían problemas sin solución, pero al menos uno podría distinguirlos y dejarlos de lado y operar con lo que se puede operar. Turing demostró que no hay forma sistemática de saber de antemano cuáles serán esos problemas, así como no se sabrá cuándo parar, de buscarlos, tampoco… y ese es el problema de Turing y lo vuelve un problema práctico porque lo trae a nuestra cotidianeidad, está acá en nuestros dispositivos, computadoras, teléfonos, etc. cuando se quedan pegados. Él pensaba que estas “máquinas” nos podrían ayudar a entendernos a nosotros mismos, ayudar a entender qué es la conciencia humana; él pensaba que nosotros éramos computadores glorificados. Pero Gödel, a diferencia de él, no creía eso, pues pensaba que somos seres luminosos con nuestra propia poesía y nuestra propia creatividad. En el fondo no se trata de barrer el problema, sino que es mucho más creativo; es un sistema inconsistente e incompleto matemáticamente, pero es completo poéticamente. Y nuestra manera de ser es completa desde la poesía porque ahí está nuestra creatividad y nuestra intuición. Gödel trató de demostrar que existía la intuición, entre lo verdadero y lo falso que podría existir, eso indecidible que podría resolver con la intuición, podría haber algo fuera de ese sistema. Imagínense un lógico tratando de demostrar matemáticamente la intuición; también terminó loco, se mató de hambre.

La historia de Turing tampoco es muy distinta, tenía una filosofía de vida que consistía en ser perfectamente honesto, él era homosexual y ser homosexual en esa época, además de ser ilegal, era un problema de seguridad del estado, pues si tenía un amigo alemán, o alguien al otro lado de la cortina de hierro durante la Guerra Fría, iba a ser un problema; se le dio a elegir entre la cárcel o ser castrado químicamente; él eligió esto último y fue “reprogramado” como sus propias computadoras, fue reprogramado con hormonas femeninas, le crecieron pechos, cambió su humor, su cabeza y se suicidó mordiendo una manzana envenenada con cianuro; a veces creo que la manzana de Apple es un homenaje a Turing.

Entonces, ¿cuál es el asunto? Que hay cosas que son inasibles. Termino con una observación de las estrellas: Hay estrellas que son menos brillantes que otras, hay estrellas que aparecen solamente cuando uno las mira con el rabillo del ojo, las tenues; si uno las mira de frente, desaparecen. Uno mira distraidamente y aparecen en el rabillo del ojo que parece más sensible, es la intuición, y uno lo enfoca y quiere atrapar por la razón y desaparece. Eso creo que es una experiencia concreta de la incompletitud y este problema es el que queremos abordar este año, en Primer Año, para tratar de ver y construir un lenguaje cualitativo, sensible, para expresar este tipo de problemas mediante el dibujo.

Taller de Amareida, Ciudad Abierta. Clase 3, Trimestre 1, 2012.